La forme des réseaux

par Pierre Arnoux et Edmund Harriss

Cette vidéo parle de la déformation des pavages périodiques, que l’on rencontre partout, de l’aspect prosaïque d’un mur de salle de bain à la beauté de l’Alhambra. Elle vise à donner une intuition physique de la façon dont on peut les déformer continument.

Il existe trois déformations essentielles possibles, qui changent la forme tout en préservant l’aire. Tout d’abord le cisaillement, qui fait glisser les points parallèlement à une ligne, avec une vitesse proportionnelle à la distance à cette ligne; puis la rotation; et enfin une opération étrange, qui étend le pavage dans un sens tout en écrasant simultanément dans l’autre; dans cette vidéo, on montre et on étudie ces trois types de déformation

Edmund Harriss travaille à l’université de l’Arkansas; il s’intéresse à l’art, aux mathématiques, et à la façon dont on peut les combiner.

Pierre Arnoux travaille à l’Université d’Aix-Marseille, à Luminy; il s’intéresse aux représentations mentales en mathématiques, et à la façon de rendre concrets et sensibles les objets mathématiques.

Pour aller plus loin :

D’un point de vue mathématique, une déformation d’un réseau préservant la structure algébrique est une application linéaire, c’est-à-dire un élément du groupe linéaire GL (2, R); puisque nous considérons que le zoom avant ne modifie pas la forme, nous pouvons considérer sans perte de généralité des applications qui préservent l’aire. Le déterminant est donc 1: il s’agit du groupe linéaire spécial SL (2, R). Si nous voulons changer le réseau continument en appliquant de manière répétée la même déformation, nous recherchons des sous-groupes de dimension 1 dans SL (2, R).

Il se trouve qu’il existe, à changement de base près, trois types de tels sous-groupes: parabolique (ou horocyclique), elliptique (ou rotation) et hyperbolique (ou géodésique), correspondant aux trois déformations présentées dans le film. Le cadre général de ces idées est présenté

– dans les notes de cours de Caroline Series

– ou dans l’article d’Etienne Ghys et Jos Leys en section 3.

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