La somme de tous les entiers fait-elle vraiment -1/12?

par Benoît Rittaud

Il se dit un peu partout que la somme des entiers positifs, 1+2+3+4+…, serait égale à -1/12. Est-ce vraiment le cas ? Non, nous explique Benoît Rittaud, du moins pas dans le sens intuitif que revêt une expression telle que 1+2+3+4+…. La vidéo explique les calculs du grand mathématicien indien Srinivasa Ramanujan qui sont à l’origine de cette étrange égalité. Celle-ci possède, en effet, un sens mathématique précis, qui n’est pas celui que l’intuition immédiate voudrait lui donner. À l’exploration des propriétés étranges des calculs sur des sommes infinies doit en réalité suivre une consolidation de la théorie sous-jacente, faute de quoi on en vient très vite à écrire des choses incohérentes. Un détour par les nombres dit p-adiques permet de saisir l’idée qu’une même expression peut avoir des sens différents. Finalement, les paradoxes apparents autour d’égalités telles que celle de Ramanujan tiennent avant tout à la confusion possible entre différents « homonymes mathématiques ».

Benoît Rittaud est maître de conférences à l’université Paris 13.

Pour aller plus loin :

  • Ramanujan : Letters and Commentary, American Mathematical Society (1995).
  • B. Candelpergher, M. A. Coppoo & E. Delabaere, « La sommation de Ramanujan », L’Enseignement Mathématique 43, 93-132 (1997).
  •  B. Le Stum, « Les p-adiques au lycée« .

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