La somme de tous les entiers fait-elle vraiment -1/12?

par Benoît Rittaud

Il se dit un peu partout que la somme des entiers positifs, 1+2+3+4+…, serait égale à -1/12. Est-ce vraiment le cas ? Non, nous explique Benoît Rittaud, du moins pas dans le sens intuitif que revêt une expression telle que 1+2+3+4+…. La vidéo explique les calculs du grand mathématicien indien Srinivasa Ramanujan qui sont à l’origine de cette étrange égalité. Celle-ci possède, en effet, un sens mathématique précis, qui n’est pas celui que l’intuition immédiate voudrait lui donner. À l’exploration des propriétés étranges des calculs sur des sommes infinies doit en réalité suivre une consolidation de la théorie sous-jacente, faute de quoi on en vient très vite à écrire des choses incohérentes. Un détour par les nombres dit p-adiques permet de saisir l’idée qu’une même expression peut avoir des sens différents. Finalement, les paradoxes apparents autour d’égalités telles que celle de Ramanujan tiennent avant tout à la confusion possible entre différents « homonymes mathématiques ».

Benoît Rittaud est maître de conférences à l’université Paris 13.

Pour aller plus loin :

  • Ramanujan : Letters and Commentary, American Mathematical Society (1995).
  • B. Candelpergher, M. A. Coppoo & E. Delabaere, « La sommation de Ramanujan », L’Enseignement Mathématique 43, 93-132 (1997).
  •  B. Le Stum, « Les p-adiques au lycée« .

2 commentaires pour “La somme de tous les entiers fait-elle vraiment -1/12?

  1. Bonjour,
    Pour moi, l’infiniment petit tend vers 0 mais n’est pas 0 et l’infiniment grand n’est pas un chiffre car si on y rajoute ne serait un 1, cela voulait dire que nous n’étions pas encore à l’infini puisque cela ne se finit jamais!!!! On ne peut que tendre vers l’infiniment grand ou petit et avoir des nombres relatifs avec périodicité ou non derrière la virgule infini!!!
    D’où l’infini + l’infini ou si on les multiplie, cela a aucun sens de façon chiffrée et conceptuelle aussi!!
    Et donc remplacer l’infini par c ou s est complètement faux car car comme on ne peut pas diviser par 0 avec l’infini, il y a des choses que l’on ne peut pas faire.
    Quand on additionne une infinité de nombre dont le nombre n’est pas déterminé, on ne peut pas obtenir un nombre mais on peut tendre vers un nombre mais il faut vraiment certaines circonstances bien particulières!!!!!!
    Faisons simple: 3 X 1/3 = 3/3 =1 mais par contre
    3 X 0,3333… sera égal à 0,9999… avec autant de points que vous voulez pour montrer l’infini mais ce ne sera jamais 1.
    cela sera toujours une approximation car entre 1/3 et 0,33333… il y a toujours une approximation de rang n qui tend vers l’infini et donc 0,333+ 0,666+ 0,001=1 d’où
    au rang qui tend vers l’infini, on a 0,333…+ 0,666…+ 10 élevé à la puissance -n=1 alors que 1/3+2/3= 3/3=1
    Et donc l’exemple avec …….9999+1 = …000000 est faux car au tout début juste après le signe = on doit avoir un 1, ceci est obligatoire à n’importe quel rang n avec n tendant vers l’infini!!!
    Dès que l’on passe à l’écriture dans l’ensemble des nombres réels, l’infini n’a pas sa place, car les erreurs sont très faciles à faire!!!
    Bonne réflexion, ravi de pouvoir échanger avec vous et de me faire reconnaître aussi comme Ramanujan!!!

    Patrice TROTEL
    Ramanujan bis

    1. Bonjour,
      Il faut faire la distinction entre 0,99999…9 avec un nombre fini de 9 (si grand soit-il) et 0,9999… avec une infinité de 9, car l’infini n’est pas « un nombre vraiment très très grand », c’est autre chose. Savoir ce que c’est est fondamental en mathématiques, mais en l’occurrence la question ici est aussi de se demander de quelle manière un objet tel que 0,999… ou 1+2+3+… est construit. Dans le « monde courant » qui nous concerne en général, il convient de poser que 0,999…=1 pour tout un tas de bonnes raisons. (L’une d’elle est que, sinon, le segment de la droite réelle limité par les nombres 0,999… et 1 ne contiendrait pas de point entre ses extrêmités.) De même, dans la pratique courante des nombres il convient de poser que 1+2+3+… est égal à l’infini.
      Ce que fait Ramanujan, c’est explorer un « autre monde », dans lequel les règles sont différentes. Trancher pour savoir si cet autre monde est plus « vrai » que celui qui nous fait écrire que 1+2+3+… n’est pas une question d’ordre mathématique. L’essentiel pour un mathématicien est de s’assurer que cet autre monde dispose d’une cohérence interne. Les utilisateurs des mathématiques (physiciens, informaticiens, ingénieurs…) peuvent quant à eux utiliser le formalisme de ces « mondes alternatifs » pour répondre à des questions bien concrètes. Ainsi, le point de vue de Ramanujan qui fait écrire que 1+2+3+…=-1/12 sert à la description d’un phénomène physique (l’effet Casimir).

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