Un carré magique de Dirichlet est une grille carrée que l’on essaie de remplir de sorte que chaque case soit la moyenne de ses quatre cases voisines. Pas si simple ?
Ce jeu est un modèle simplifié d’un problème classique en mathématiques : le problème de Dirichlet. Après une description et une introduction au jeu (avec un défi : remplir un carré magique), Olivier Druet s’intéresse à l’origine historique du problème, puis à quelques questions qui émergent. Les réponses sont en dernière partie. Elles s’appuient en particulier sur un programme Scratch.
Olivier Druet est directeur de recherche au CNRS (Institut Camille Jordan, Université Lyon 1).
Cet exposé peut aisément être découpé et vu en plusieurs fois :
00:00 : introduction au problème se terminant par une énigme.
05:27 : origine historique du problème (pouvant donner des idées pour résoudre l’énigme).
13:40 : questions autour de ces carrés.
16:05 : un outil mathématique fondamental, le principe du maximum, expliqué sur ce modèle simple. Cela permet de répondre à une des questions posées.
26:42 : comment remplir un carré de Dirichlet avec Scratch ?
Pour aller plus loin:
Ressources complémentaires :
- le programme Scratch permettant de remplir un carré de Dirichlet 3×3 : cliquez ici
- Activité autour de la vidéo proposée par Christophe Caelen
Bonjour,
Bravo et merci pour votre vidéo.
Que j’ai utilisée pour développer un programme en FLASH présenté ici :
https://www.youtube.com/watch?v=Odcw7WaOwq4
https://www.youtube.com/watch?v=IbJaDZRfGUg
Bonjour,
Merci beaucoup pour ce programme, plus efficace qu’avec Scratch et qui va permettre de jouer avec ces carrés
magiques. Il faut juste remarquer que, si j’avais choisi des nombres au bord de sorte que la solution soit entière, ce n’est évidemment pas toujours le cas. Et le programme, en arrondissant, ne donne pas une solution exacte à tous les coups (mais il s’en approche).
Encore merci,
Olivier Druet
Merci pour le retour.
Il est bien dit dans la vidéo que la solution n’est qu’approchée le plus souvent.
Et la recherche de solutions exactes peut être un jeu abordable pour les élèves dès le primaire…
Cordialement,
Roland Dassonval.
Quelqu’un aurait-il essayé de résoudre l’équation de la chaleur, en utilisant un maillage type carrés magiques de Direchlet??
Merci
Bonjour,
Oui, peut-être pas exactement avec des carrés de Dirichlet. Mais faire un maillage pour résoudre numériquement ce type d’équations est régulièrement utilisé. Ici, je parle plus du problème statique (trouver la température d’équilibre), ce qui s’appelle trouver le prolongement harmonique d’une fonction (donnée sur le bord). On peut utiliser la technique proposée avec un maillage très très fin pour trouver une approximation (de plus en plus fine et exacte) de la solution du problème continu (de l’EDP). Malgré tout, on essaiera d’être plus efficace qu’avec le petit programme basique proposé ici. Pour l’équation de la chaleur elle-même (l’évolution de la température), on peut faire la même chose.
Cordialement,
Olivier Druet
Bonjour,
Merci pour cette vidéo que je trouve sympathique et pédagogique
Toutefois, existe t’il une formule qui ai été trouvée pour les différentes taille de carrée, une fonction asymptotique ?
D’autres part, quelles peuvent être les autres utilisations de ce problème de Dirichlet ?
Bien à vous
Merci
Bonjour,
En effet, on peut trouver une formule pour les valeurs de toutes les cases en fonction de celles du bord. En pratique, on résout le carré avec des 0 partout à l’extérieur et un seul 1 dans une case. On le fait pour toutes les positions de 1 possibles. Et on utilise la linéarité (somme de carrés et multiplications par un nombre).
Asymptotiquement, quand la taille du carré augmente, on va retrouver le cas continu (mieux connu).
Tout ceci est appelé par les mathématiciens représentation de Green d’une fonction harmonique.
Cordialement,
Olivier Druet
C’est très propre. Mais puisque c’est toujours bien de critiquer un peu, j’aurai bien aimé que
– vous évoquiez la possibilité que le maximum se trouve en bordure intérieure du carré
– vous parliez plus des combinaisons linéaires de carrés de Dirichlet
– vous parliez plus du cas particulier du carré dans lequel tous les termes sont identiques
– vous parliez de rectangle (rectangle de Dirichlet ! )
– vous parliez de la 3ème dimension ( cube de Dirichlet !)
Merci ! Et oui, bien sûr, j’aurais pu parler de plein de choses en plus. Et j’aurais pu aller moins vite ou en dire plus sur certaines parties mais la vidéo est déjà longue. Une autre fois ?
Cordialement,
Olivier Druet
Bonjour,
J’ai regardé votre vidéo plusieurs fois, j’en regarde vraiment beaucoup, plus souvent en anglais, je l’ai trouvé formidable. Très pédagogique, ramenant un problème « compliqué » à un modèle compréhensible pour un non mathématicien. J’aimerai pouvoir participer à la traduction de sous titre ( vers un anglais meilleur que l’automatique ) si cela vous intéresse, de manière à ce que cela ne vous prenne que le temps de me corriger. Je cherche toujours à approfondir et pour l’instant malgré le nombre (plus grand) de vidéo en anglais existante, je n’ai pas trouvé mieux ou qui me permette d’aller plus loin mais pas trop vite. J’aimerai partager votre vidéo dans le contexte d’un forum de jeux vidéos. La version ‘continue’ du problème est trop compliquée pour moi mais la façon dont vous avez présenté la version ‘discrète’ rend frappante l’analogie avec la façon dont la diffusion de chaleur ou d’eau dans des tuyaux, dans un monde virtuel ou l’espace est segmenté en case, est simulée.
Votre explication « pratique » pour trouver la valeur d’une case en fonction de celles du bord, en commençant avec des 0 partout à l’extérieur et un seul 1 dans une case puis en répétant pour toute les cases et « en utilisant la linéarité » reste la aussi mystérieuse pour moi, j’en déduit que mon niveau de départ est trop bas, ce à quoi je vais tenter de remédier 🙂 Mais c’est un bon point de départ ! Si je comprends bien, c’est les méthodes mentionnées dans la vidéo pour trouver la solution au carré magique qui m’intéressent le plus, parce que vu sous le prisme du jeux vidéo c’est une source de questionnement sans fin de savoir comment calculer le déplacement des fluides et de la chaleur de manière optimale. ( quelles sont les autres méthodes ? existe t-il un consensus parmi les mathématiciens sur la plus rapide ? la plus facile à implémenter ? sur quel langage ? dans quelle conditions de taille ? ou même tous simplement comment marche mon jeux vidéo ? … c’est sans fin ! )
Le contexte historique et votre programme scratch en action permettent facilement de (faire) comprendre que la réponse à cette question est un problème documenté par des mathématiciens, de prendre connaissance des termes sur lesquels approfondir comme « représentation de Green d’une fonction harmonique ». La version du problème « simplifiée » par la discrétisation de l’espace et du temps, devient le problème en intégralité avec ma lecture: Comment optimiser le temps d’exécution du modèle jouet grâce à des mathématique parfois trop compliquées pour des gens dont ce n’est pas la spécialité. Parfois même des gens qui ignorent qu’ils sont entrain de chercher ça , qui le découvre par hasard au travers d’un vidéo youtube et qui deviennent très enthousiaste subitement 🙂
Encore merci pour cette mine d’information disponible publiquement, je reste à votre disposition si je peux faire quoi que ce soit qui faciliterai la diffusion de + de ce savoir de la plus haute importance vers ma communauté de joueurs adulescents ou autres !