La formule 
peut prétendre au titre de plus belle formule mathématique.
Elle allie arithmétique, géométrie, algèbre et analyse dans un énoncé extraordinairement condensé. La vidéo explique les termes qui entrent en jeu dans cette formule, et donne ainsi à voir cette formidable intrication entre divers domaines des mathématiques.
Benoît Rittaud est maître de conférences à l’université Paris 13.
Pour aller plus loin :
- Benoît Rittaud, Newton implique Kepler – Méthodes mathématiques pour l’enseignement supérieur en mathématiques, Ellipses, 2017.
. Ils sont
Très belle vidéo sur la formule d’Euler
Bonne pédagogie
Yvon Gervaise
http://www.expertscience.fr
A 7 mn 10 s, on nous demande d’admettre une formule, et même de se persuader qu’elle est vrai, sans aucune démonstration : C’est ce genre de « chausse-trappe’ qui « coule » les gens : la construction méthodique est ruinée par une obligation d’admettre sans justification si on veut essayer de poursuivre. ET que dire de la rigueur mathématique de se persuader ? ! Notons que c’est aussi ça qui permet de « sélectionner » et de « larguer » les moins bons, seuls les meilleurs réussiront à suivrent … A quand une démonstration sans qu’on nous dise : « ici, on va devoir admettre une proposition qu’on ne pourra pas démontrer… » ?
Comme indiqué en objet … vérification
e^(iπ) +1=0
Élevons ce terme au carré. [identité remarquable avec (a+b)² = a² + 2ab + b² = 0² = 0 ]
(e^(iπ) +1)²=0
e^(- π²) + 2 e^(iπ) + 1² = 0
ajoutons 1 à chaque terme de l’équation :
e^(- π²) + 2 e^(iπ) + 1 + 1 = 1
e^(- π²) + 2 (e^(iπ) + 1) = 1
e^(- π²) + 2*0 = 1
e^(- π²) – 1 = 0
d’où …
-0.999948276 = 0 ???
Il me semble que (e^(iπ) +1)²=0 donne plutôt e^(2iπ) + 2e^(iπ) + 1 =0
soit
e^(2iπ) + 2(e^(iπ) + 1) = 1
soit
(e^(iπ))^2 = 1
donc on revient au point de départ
e^(iπ) = -1
mais j’avoue que je m’interroge car cela donne aussi e^(iπ) = 1
je dois me planter ailleurs 😉
Si a vaut -1 son carré vaut 1 mais ça ne veut pas dire que a pourrait donc aussi valoir 1 !
Un graffiti dans mon coin. J’étais curieux. Je me souviens d’avoir déjà cherché. La formule la plus laide des mathématiques existe aussi. Voyez wiki.
D’après la formule de Euler
e^ix = cos x + i sin x
e^iπ =cosπ +i sinπ
cosπ= -1
sinπ = 0
donc e^iπ = -1 soit i^2
donc e^iπ +1 = 0
La formule de « e i×π +1=0 » prouve simplement que le hasard n’existe pas, et que nous vivront dans un univers parfaitement défini par des constantes mathématiques. Et oui, l’univers n’est jamais hors la loi.
réponse la-plus-belle-formule-des-mathematiques
https://video.math.cnrs.fr/la-plus-belle-formule-des-mathematiques-ei%cf%8010/#comment-562
@henry
(e^(iπ) +1)²=0 donne plutôt e^(2iπ) + 2e^(iπ) + 1 =0 (cf réponse Thierry)
[(e^(iπ) )² donne e^(iπ.2) et non pas e^((iπ)²)= e^(- π²)
@Thierry
comment passe t-on de : e^(2iπ) + 2(e^(iπ) + 1) = 1 à (e^(iπ))^2 = 1 ?!?
avec la formule d’Euler
[ou avec une vision plus ‘géométrique’ : 2π congru à 0 modulo 2π => e^(2iπ) = e^0 = 1]
e^(2iπ) + 2e^(iπ) + 1 = 1 + 2e^(iπ) + 1 = 2(e^(iπ) + 1)
et on revient donc bien au même point de départ e^(iπ) + 1 =0 (et donc tj pas de démo 😉 )
@Collat
La difficulté pédagogique est comment introduire l’exponentielle complexe ?
Rittaud choisit l’approche analytique avec cette lim classique : e^x = lim (1+ x/n!)^n , qd n tend vers l’infini
Qu’il demande d’accepter car sinon il faudrait bcp de temps et en supposant de l’auditeur un bagage math. conséquent.
De même pour les représentations graphiques des puissances successives.
Il n’y a de toute façon jamais de démo formelle (la plupart deraient perdus) même pour l’exponentielle réelle qu’il ‘image’ qd même plutôt bien.
Cette approche a le mérite d’être visuelle, et sinon de démontrer au moins de montrer de façon ’empirique’
Une autre approche serait d’utiliser les séries : e^x = sum {x^{n}/ n!} (n de 0 à l’infini)
d’un calcul peut-être + facile à manipuler, mais moins visuel donc.
Le plus simple est la formule d’Euler (e^x = cosx + i.sinx).
Mais de toute façon aucune des 3 approches ne démontre de façon simple la nature exponentielle de la formule
(avec entre autre les propriétés associées p.ex a^(x+y) = a^x . a^y)
@Goku
le hasard n’est pas vraiment un objet mathématique (une distribution aléatoire par contre peut se définir mathématiquement )
donc déjà difficile d’établir un lien entre cette identité et une absence de hasard 🙂
Quelle serait d’ailleurs une définition (philosophique ?) du hasard ?
Sinon quel est ici votre raisonnement ?
Une vérité établie dans un contexte donné (cette identité d’Euler p.ex) prouve t-elle que Tout est déterminé par des formules et des constantes ?
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Cette identité est de toute beauté
la beauté « formelle » (tous les élements « essentiels » réunis en une égalité simple)
la beauté épistémologique : elle réunit avec l’exponentiation complexe (‘l’imaginaire en puissance’) différentes branches de l’histoire mathématique (arithmétique, algèbre, analyse, géométrie/trigonométrie…)
Mais que prouve t-elle au delà des maths ?
Le ‘problème’ dans bcp de nos discussions vient du fait que nous n’avons souvent pas les mêmes définitions d’un même mot/concept
et avons donc l’illusion de discuter d’un même sujet (même mot ou concept comme le hasard) alors que non
Les mathématiques et l’axiomatique m’ont appris la prudence par rapport aux sciences et au ‘rationnel’ 😉
De quels objets/sujets (définitions ?) parle t-on ?
et sur quelles ‘vérités’ (axiomes / propriétés élémentaires) se base t-on pour démontrer ?
Les géométries euclidienne et non euclidiennes fournissent un beau cas d’école : avec le 5eme axiome d’Euclide que l’on retient ou pas,
on obtient des systèmes assez différents … mais tous ‘vrais’ 🙂
Et applicables !
(p.ex géométrie euclidienne pour construire sa maison, géométrie sphérique pour naviguer sur la Terre, avec des triangles dont la somme des angles fait plus de 180°)
Nos bases de raisonnement (définitions, axiomes) ne sont, par construction, pas démontrées rationnellement mais … ‘choisies’…
L’imprévisibilité peut etre plus ou moins modélisée ((p.ex théorie du chaos)
Et on peut constater dans cet univers un certain déterminisme avec des phénomènes qui semblent réplicables.
mais est-ce certain ?
Et déjà même dans cet univers et avec nos systèmes de pensée scientifiques actuels, la physique quantique p.ex amène à une vision non déterministe de certains phénomènes.
Les propriétés des infinis/transfinis nous donnent par ailleurs des exemples où cohabitent les ‘contraires’ (de fait ces paradoxes ne sont donc qu’ ‘apparents’) :
. des ensembles denses, ‘pleins’, que l’on peut pourtant encore ‘remplir’ avec des ensembles encore plus grands (et ‘transcendants’ ! ),
. des parties équivalentes au Tout…
Le déterminisme doit donc pouvoir cohabiter avec le hasard 😉
Ce serait de toute beauté 🙂
bonjour
a la fin de l explication n y a t il pas une erreur ce n est pas 1 mais -1 qu il faudrait dire ?
il faudrait dire lorsque n devient grand 1+ipi/n s approche de ce qu il faut c est a dire de-1 et non pas de 1 comme il est dit
merci de votre reponse
alain