Carrés magiques de Dirichlet

par Olivier Druet

Un carré magique de Dirichlet est une grille carrée que l’on essaie de remplir de sorte que chaque case soit la moyenne de ses quatre cases voisines. Pas si simple ?

Ce jeu est un modèle simplifié d’un problème classique en mathématiques : le problème de Dirichlet. Après une description et une introduction au jeu (avec un défi : remplir un carré magique), Olivier Druet s’intéresse à l’origine historique du problème, puis à quelques questions qui émergent. Les réponses sont en dernière partie. Elles s’appuient en particulier sur un programme Scratch.

Olivier Druet est directeur de recherche au CNRS (Institut Camille Jordan, Université Lyon 1).

Cet exposé peut aisément être découpé et vu en plusieurs fois :

00:00 : introduction au problème se terminant par une énigme.

05:27 : origine historique du problème (pouvant donner des idées pour résoudre l’énigme).

13:40 : questions autour de ces carrés.

16:05 : un outil mathématique fondamental, le principe du maximum, expliqué sur ce modèle simple. Cela permet de répondre à une des questions posées.

26:42 : comment remplir un carré de Dirichlet avec Scratch ?

Pour aller plus loin:

Ressources complémentaires :

10 commentaires pour “Carrés magiques de Dirichlet

      1. Bonjour,

        Merci beaucoup pour ce programme, plus efficace qu’avec Scratch et qui va permettre de jouer avec ces carrés
        magiques. Il faut juste remarquer que, si j’avais choisi des nombres au bord de sorte que la solution soit entière, ce n’est évidemment pas toujours le cas. Et le programme, en arrondissant, ne donne pas une solution exacte à tous les coups (mais il s’en approche).
        Encore merci,

        Olivier Druet

        1. Merci pour le retour.
          Il est bien dit dans la vidéo que la solution n’est qu’approchée le plus souvent.
          Et la recherche de solutions exactes peut être un jeu abordable pour les élèves dès le primaire…
          Cordialement,
          Roland Dassonval.

    1. Bonjour,
      Oui, peut-être pas exactement avec des carrés de Dirichlet. Mais faire un maillage pour résoudre numériquement ce type d’équations est régulièrement utilisé. Ici, je parle plus du problème statique (trouver la température d’équilibre), ce qui s’appelle trouver le prolongement harmonique d’une fonction (donnée sur le bord). On peut utiliser la technique proposée avec un maillage très très fin pour trouver une approximation (de plus en plus fine et exacte) de la solution du problème continu (de l’EDP). Malgré tout, on essaiera d’être plus efficace qu’avec le petit programme basique proposé ici. Pour l’équation de la chaleur elle-même (l’évolution de la température), on peut faire la même chose.

      Cordialement,

      Olivier Druet

  1. Bonjour,
    Merci pour cette vidéo que je trouve sympathique et pédagogique
    Toutefois, existe t’il une formule qui ai été trouvée pour les différentes taille de carrée, une fonction asymptotique ?
    D’autres part, quelles peuvent être les autres utilisations de ce problème de Dirichlet ?

    Bien à vous
    Merci

    1. Bonjour,

      En effet, on peut trouver une formule pour les valeurs de toutes les cases en fonction de celles du bord. En pratique, on résout le carré avec des 0 partout à l’extérieur et un seul 1 dans une case. On le fait pour toutes les positions de 1 possibles. Et on utilise la linéarité (somme de carrés et multiplications par un nombre).
      Asymptotiquement, quand la taille du carré augmente, on va retrouver le cas continu (mieux connu).
      Tout ceci est appelé par les mathématiciens représentation de Green d’une fonction harmonique.

      Cordialement,

      Olivier Druet

  2. C’est très propre. Mais puisque c’est toujours bien de critiquer un peu, j’aurai bien aimé que
    – vous évoquiez la possibilité que le maximum se trouve en bordure intérieure du carré
    – vous parliez plus des combinaisons linéaires de carrés de Dirichlet
    – vous parliez plus du cas particulier du carré dans lequel tous les termes sont identiques
    – vous parliez de rectangle (rectangle de Dirichlet ! )
    – vous parliez de la 3ème dimension ( cube de Dirichlet !)

    1. Merci ! Et oui, bien sûr, j’aurais pu parler de plein de choses en plus. Et j’aurais pu aller moins vite ou en dire plus sur certaines parties mais la vidéo est déjà longue. Une autre fois ?

      Cordialement,

      Olivier Druet

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