Il se dit un peu partout que la somme des entiers positifs, 1+2+3+4+…, serait égale à -1/12. Est-ce vraiment le cas ? Non, nous explique Benoît Rittaud, du moins pas dans le sens intuitif que revêt une expression telle que 1+2+3+4+…. La vidéo explique les calculs du grand mathématicien indien Srinivasa Ramanujan qui sont à l’origine de cette étrange égalité. Celle-ci possède, en effet, un sens mathématique précis, qui n’est pas celui que l’intuition immédiate voudrait lui donner. À l’exploration des propriétés étranges des calculs sur des sommes infinies doit en réalité suivre une consolidation de la théorie sous-jacente, faute de quoi on en vient très vite à écrire des choses incohérentes. Un détour par les nombres dit p-adiques permet de saisir l’idée qu’une même expression peut avoir des sens différents. Finalement, les paradoxes apparents autour d’égalités telles que celle de Ramanujan tiennent avant tout à la confusion possible entre différents « homonymes mathématiques ».
Benoît Rittaud est maître de conférences à l’université Paris 13.
Pour aller plus loin :
- Ramanujan : Letters and Commentary, American Mathematical Society (1995).
- B. Candelpergher, M. A. Coppoo & E. Delabaere, « La sommation de Ramanujan », L’Enseignement Mathématique 43, 93-132 (1997).
- B. Le Stum, « Les p-adiques au lycée« .
Bonjour,
Pour moi, l’infiniment petit tend vers 0 mais n’est pas 0 et l’infiniment grand n’est pas un chiffre car si on y rajoute ne serait un 1, cela voulait dire que nous n’étions pas encore à l’infini puisque cela ne se finit jamais!!!! On ne peut que tendre vers l’infiniment grand ou petit et avoir des nombres relatifs avec périodicité ou non derrière la virgule infini!!!
D’où l’infini + l’infini ou si on les multiplie, cela a aucun sens de façon chiffrée et conceptuelle aussi!!
Et donc remplacer l’infini par c ou s est complètement faux car car comme on ne peut pas diviser par 0 avec l’infini, il y a des choses que l’on ne peut pas faire.
Quand on additionne une infinité de nombre dont le nombre n’est pas déterminé, on ne peut pas obtenir un nombre mais on peut tendre vers un nombre mais il faut vraiment certaines circonstances bien particulières!!!!!!
Faisons simple: 3 X 1/3 = 3/3 =1 mais par contre
3 X 0,3333… sera égal à 0,9999… avec autant de points que vous voulez pour montrer l’infini mais ce ne sera jamais 1.
cela sera toujours une approximation car entre 1/3 et 0,33333… il y a toujours une approximation de rang n qui tend vers l’infini et donc 0,333+ 0,666+ 0,001=1 d’où
au rang qui tend vers l’infini, on a 0,333…+ 0,666…+ 10 élevé à la puissance -n=1 alors que 1/3+2/3= 3/3=1
Et donc l’exemple avec …….9999+1 = …000000 est faux car au tout début juste après le signe = on doit avoir un 1, ceci est obligatoire à n’importe quel rang n avec n tendant vers l’infini!!!
Dès que l’on passe à l’écriture dans l’ensemble des nombres réels, l’infini n’a pas sa place, car les erreurs sont très faciles à faire!!!
Bonne réflexion, ravi de pouvoir échanger avec vous et de me faire reconnaître aussi comme Ramanujan!!!
Patrice TROTEL
Ramanujan bis
Bonjour,
Il faut faire la distinction entre 0,99999…9 avec un nombre fini de 9 (si grand soit-il) et 0,9999… avec une infinité de 9, car l’infini n’est pas « un nombre vraiment très très grand », c’est autre chose. Savoir ce que c’est est fondamental en mathématiques, mais en l’occurrence la question ici est aussi de se demander de quelle manière un objet tel que 0,999… ou 1+2+3+… est construit. Dans le « monde courant » qui nous concerne en général, il convient de poser que 0,999…=1 pour tout un tas de bonnes raisons. (L’une d’elle est que, sinon, le segment de la droite réelle limité par les nombres 0,999… et 1 ne contiendrait pas de point entre ses extrêmités.) De même, dans la pratique courante des nombres il convient de poser que 1+2+3+… est égal à l’infini.
Ce que fait Ramanujan, c’est explorer un « autre monde », dans lequel les règles sont différentes. Trancher pour savoir si cet autre monde est plus « vrai » que celui qui nous fait écrire que 1+2+3+… n’est pas une question d’ordre mathématique. L’essentiel pour un mathématicien est de s’assurer que cet autre monde dispose d’une cohérence interne. Les utilisateurs des mathématiques (physiciens, informaticiens, ingénieurs…) peuvent quant à eux utiliser le formalisme de ces « mondes alternatifs » pour répondre à des questions bien concrètes. Ainsi, le point de vue de Ramanujan qui fait écrire que 1+2+3+…=-1/12 sert à la description d’un phénomène physique (l’effet Casimir).
bonjour,
pour moi la manipulation d’un infini n’est pas faisable comme un nombre normal, je vois l’infini de même nature que le zéro un nombre absorbant mais pour l’addition, autrement dit chaque opération additive comportant ce termes sous-jacent en fait n’existe pas vraiment et se résume à lui même. Dans le cas de l’effet Casimir je ne suis pas sur qu’une l’explication d’un phénomène physique par un calcul ( somme des fréquences infini des multiples d’une longueur d’onde ) soit une preuve de l’équation de initiale de Ramanujan, j’ai plutôt l’impression d’un tour de passe-passe pratique dans le cadre de cette expérience.
En résumé pour moi l’infini est plus un concept qu’un nombre signé ou pas et comme le dit bien l’auteur il faut faire attention à la limite des espaces car la frontière est peut-être la ou ces concepts apparaissent,
en tout cas merci de ces éléments très intéressants
Bonjour,
Tout d’abord merci pour l’excellente qualité de cette vidéo qui donnerait presque envie de se « remettre » aux maths…
L’exemple (…..9999999999999999.0) que vous prenez (autour de 10:00) visualise cette valeur « par la droite », sachant par construction « au bout à gauche » doit se trouver un 9. Rajouter 1 à ce nombre doit conduire de part la propagation de la retenue à faire apparaître un 1 à gauche suivi d’une cohorte de 0 . Je ne comprends pas pourquoi vous dites que ce nombre au demerant entier est égal à 0. Cette manière de présenter ce résultat me fait penser à une préstidigitation où l’attention du spectateur est attirée du côté où l’on veut qu’il regarde…Il serait beaucoup plus difficile d’être convainquant si elle était démontrée par la gauche : (99+1)+900+9000+… soit 100 +900 +9000+… = 10000+…
Désolé mais la démonstration de Ramanujan via des opérations menées terme à terme sur des séries écrites en paralélle semble moins ostensiblement biaisée.
Il m’a été enseigné jadis que les opérations sur l’infini étaient « illicites » voire vaines car quoique l’on lui ajoute, multiplie, retranche ou divise l’infini reste l’infini.
Est-t’il correct d’écrire que Ramanujan s’affranchit de cette « interdiction » ce qui lui permet d’aboutir à son fameux résultat et que le R au dessus du grand sigma de la somme indique que l’interdiction d’opérer (au sens mathématique) sur une grandeur tendant vers l’infini est levée ?
Trés respectueusement
J-M Roux
Point de dèpart
L’audace de Ramanujan. Il faut attendre le début du XXe siècle, et le célèbre mathématicien indien auto didacte Srinivasa Aiyangar Ramanujan (voir [Hardy 37] ; [Parrochia 20]) pour voir explicitement apparaître, dans un de ses carnets (voir[Ramanujan 85], I, chap. 8, 3) ; [Berndt 39]) une sommation de la série ζ(−1), aboutissant à l’incroyable résultat de -1/12. Pour comprendre son raisonnement, en fait peu rigoureux, écrivons l’une sous l’autre les deux séries que nous avons nommées plus haut B et C, en prenant désormais -B au lieu de B. Nous avons : −B = −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 · · · . C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · · · . Additionnons-les maintenant membre à membre, comme le fait Ramanujan. Nous obtenons : C − B = 4 + 8 + 12 + 16 + · · · = 4(1 + 2 + 3 + 4 + · · ·) = 4C. D’où : -B = 3C ou encore : C = -B/3. Et comme B = 1/4= (B +2B dècalè de 1 + B dècalè de 2)/4 , on aboutit au résultat présenté par Ramanujan dans ses carnets : C (R) = − 1/12
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Mise en èvidence de l’erreur de Ramanujan et la notre
Notre explication très simpliste s’oppose à celle de Ramanujan parce que l’erreur dure depuis plus d’un siècle et demande d’avancer prudemment:
1) introduisons deux dèfinitions:
ègalitè de deux sèries
Deux sèries sont ègales si et seulement si en les soustrayant l’une de l’autre on obtient une sèrie dont tous les termes sont nuls.
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
– ( 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 les deux sèries sont ègales
dècalage de deux sèries
Deux sèries identiques sont dècalèes si et seulement si en les soustrayant l’une de l’autre on obtient des termes non nuls
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
– (0 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)
= 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 – 6 les deux sèries ne sont pas ègales puisque tous les termes ne sont pas ègaux à 0
Conclusion: puisque deux sèries dècalèes ne sont pas ègales, elles ne peuvent porter le mème nom.
C’est pourtant ce qu’a fait Ramanujan et que nous faisons tous naturellement; Là est l’erreur
Reprenons les 12lignes de l’entète ci-dessus et suivons le raisonnement de Ramanujan en ècrivant l’une sous l’autre les deux sèries B et C en prenant-B au lieu de B
−B = −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 · · · .
C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 · · · , additionnons membre à membre) C – B = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 +12 + 0 + 16… Ce rèsultat intermèdiaire n’apparait pas dans les notes de Ramanujan à ma disposition et c’est la seconde source des erreurs. C’est pourquoi notre dèmarche sera plus scolaire.
A partir de C – B on peut obtenir la relation de Ramanujan en supprimant tous les « 0 » et en collant le 8 derrière le 4, le 12 derrière le 8….ce qui est conforme à ce qu’obtient Ramanujan qui fait disparaitre les « 0 » sans donner aucune explication. Mème si, à priori, supprimer les « 0 » ne change pas la somme de la sèrie, ce serait oublier qu’un terme d’une sèrie est à la fois une valeur mais aussi une position et l’on ne peut plus ècrire que c’est ègal à C – B car les dècalages ne sont plus respectès.
Nous disposons donc de deux façons d’ècrire C – B que nous retrouvons ci-dessous: Z = C – B = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 +12 + 0 + 16…
Q = C – B = + 4 + 8 +12 + 16… là ou Ramanujan ignore la première qui est mathèmatiquement juste et conserve la deuxième en ècrivant une nouvelle sèrie dont des termes ont ètè dèplacès. Compte tenu de la deuxième règle, elle ne peut plus s’appeler C – B. Ce qui arrète le raisonnement puisque nous ne sommes plus dans un espace d’èvolution homogène. Il ne s’agit pas ici d’un regard diffèrent portè sur les mathèmatiques mais de l’erreur d’un mathèmaticien et la notre qui cherchons à nous justifier depuis plus d’un siècle.
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progression dans deux repères diffèrents
Pour imager au maximum notre explication, considèrons que C reprèsente un parent se dèplaçant sur la ligne C, -B l’autre parent se dèplaçant sur la ligne -B et que C – B reprèsente leur enfant se dèplaçant sur la ligne C – B. Chaque terme reprèsente une case sur laquelle la famille avance en se tenant par la main et regardons comment la famille progresse. Dans le cas où l’on conserve les « 0 » (ligne Z) les trois membres de la famille avancent en se donnant simplement la main. La situation est normale. Par contre, lorsqu’on supprime les « 0 » (ligne Q) les parents progressent toujours de la mème façon alors que l’enfant progresse d’une case tous les deux termes puisque le « 0 » sont supprimès. Immèdiatement une tension apparait entre les parents et l’enfant et si l’on ne change rien ils ne pourront plus se tenir ensemble et devront se lacher. Les parents et l’enfant sont dans deux repères diffèrents. C’est le problème de relativitè dècrit par Einstein que l’on peut expliquer d’une autre façon….. Nous constatons que les deux situations ne sont donc pas èquivalentes et que Ramanujan a fait une erreur en les considèrant toujours comme èquivalentes alors qu’il y a un effet de relativitè (les rèfèrences entre parents et enfant ne sont plus les mèmes). Aujourd’hui, beaucoup de mathèmaticiens, veulent considèrer qu’il faut changer notre regard pour intègrer cette anomalie alors qu’il s’agit semble-t-il d’une simple erreur d’analyse.
Sur le plan mathèmatique, si deux sèries sont ègales, la soustraction de l’une par l’autre doit donner » 0 » Appliquè à notre situation, si les deux façons d’ècrire C – B sont ègales, leur diffèrence doit donc ètre ègale à » 0 « . On devrait pouvoir ècrire l’une en dessous de l’autre : C – B = 0 + 4 + 0 + 8 + 0 +12 + 0 + 16…
-( C – B = + 4 + 8 +12 + 16…)
0 = – 4 – 4 – 12 – 8…
La diffèrence entre les deux sèries n’ètant pas ègale à « 0 » les deux sèries ne peuvent ètre ègales et ne peuvent ètre appelèes par le mème nom Et donc, le raisonnement de Ramanujan n’est pas le bon. Ainsi la somme des entiers naturels de 1 à l’infini n’est pas ègale à -1/12. Les consèquences devront s’appliquer à la thèorie des cordes et à l’effet Casimir qui utilisent cette fausse ègalitè.
Ramanujan n’ètait intèressè que par les mathèmatiques. Il refusait de prendre en compte les autres matières jusqu’à èchouer à ses examens parce qu’il rendait copie blanche pour celles-ci.
De ce fait, j’èmets l’hypothèse qu’il ne suivait pas les ènormes progrès que la science faisait au dèbut du XXème siècle.
Dans ce cas, il est probable qu’il ait ignorè la notion « de phase » dans une sèrie. Si elle peut souvent ètre nègligèe pour les sèries convergentes ce n’est plus le cas pour les sèries divergentes.
Exemple : prenons un signal sinusoidal èchantillonnè et additionnons terme à terme les èchantillons de cette sèrie à la même sèrie en jouant sur la phase de la seconde sèrie. On obtient une troisième sèrie qui est quasiment le double de la première, ou au contraire, qui a tous ses termes nuls s’il y a opposition de phase. (sauf aux extrèmitès des deux sèries).
1ère erreur
Dans son raisonnement Ramanujan, et tous ceux qui se sont attaquès à ce problème depuis plus d’un siècle et partout dans le monde, considèrent qu’une sèrie dècalèe (ou dèphasèe si elle reprèsente un signal sinusoidal) sont ègales ; donc, en particulier une sèrie dont les termes sont nuls serait ègale à une sèrie non nulle reprèsentant un signal sinusoidal. C’est la première erreur de Ramanujan. La science à cette èpoque ne semblait pas maitriser la notion de phase. Si c’ètait le cas, l’erreur aurait ètè logique. Mais aujourd’hui je pense que nous n’avons pas le droit de l’ignorer et ne pouvons donc plus faire rèfèrence à la dèmonstration de Ramanujan.
2ème erreur
Lorsque Ramanujan multiplie par 4 la sèrie initiale C et l’additionne à celle-ci en plaçant les membres sous les nombres pairs de la sèrie initiale avant l’ addition membre à membre, il refait de nouveau, à cause du dècalage, la même erreur que prècèdemment. De plus, cette fois, il rajoute une erreur de relativitè qui consiste à additionner ou soustraire deux sèries qui n’appartiennent pas au même rèfèrentiel à cause de l’expansion due au positionnement sous les membres pairs. Einstein venait quelques annèes plus tot de dèmontrer que c’est une opèration interdite comme de considèrer qu’un promeneur avançant à 3 km/h le long de la berge et un marin marchant à 3 km/h sur son bateau qui progresse à 5 km/h se dèplaceraient à la même vitesse par rapport à la berge (ce qui est èvidemment faux). (Prèsentation qui m’a ètè faite lorsque j’ ai abordè la relativitè.)
Sur ce point, Ramanujan a peut-ètre une part de responsabilitè concernant l’erreur car s’il avait fait le choix de s’intèresser plus aux progrès de la science il aurait eu durant plusieurs annèes la capacitè de prendre en compte cette relativitè.
Je rèsume : – deux sèries identiques mais dècalèes ne sont pas ègales et ne peuvent donc porter le même nom (C-4C) = -3C ècrit par Ramanujan n’est pas correct si -4C est dècalèe par rapport à C.
– deux sèries n’èvoluant pas au même rythme n’appartiennent pas au même rèfèrentiel et ne peuvent donc ètre simplement additionnèes (Einstein).
Les nombreuses dèmonstrations de cette fausse ègalitè que j’ai consultèes font ces erreurs.